SA. Маятники

Маятники

Физическую систему (тело), в которой при отклонении от положения равновесия возникают и существуют колебания, называют колебательной системой.

Рассмотрим простейшие механические колебательные системы: пружинный и математический маятники.

Пружинный маятник

• Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из материальной точки массой m и пружины.

Различают горизонтальный пружинный маятник (рис. 1, а) и вертикальный (рис. 1, б).

а (исходник с сайта somit.ru)

<swf age="13" bgcolor="#F8F8FF" dummy="Dummy_pic1.jpg">Mex-majat-02.swf</swf> б Рис. 1.

Период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

\(T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}},\)

где k — коэффициент жесткости пружины маятника. Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

• Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды, открытое Галилеем, называется изохронностью (от греческих слов ίσος — равный и χρόνος —время).

Математический маятник

Рассмотрим простой маятник — шарик, подвешенный на длинной прочной нити. Такой маятник называется физический.

Если размеры шарика много меньше длины нити, то этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку. Растяжением нити также можно пренебречь, так как оно очень мало. Если масса нити во много раз меньше массы шарика, то массой нити также можно пренебречь. В этом случае мы получаем модель маятника, которая называется математическим маятником.

• Математическим маятником называется, материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле силы тяжести (или других сил) (рис. 2).

<swf age="13" bgcolor="#F8F8FF" dummy="Dummy_pic1.jpg">Mex-majat-03.swf</swf> Рис. 2.

Галилео Галилей экспериментально установил, что период колебаний математического маятника в поле силы тяжести не зависит от его массы и амплитуды колебаний (угла начального отклонения). Он установил также, что период колебаний прямо пропорционален \(\sqrt{l}\).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

\(T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}.\)

При углах отклонения математического маятника α < 20° погрешность расчета периода по формуле Гюйгенса не превышает 1%.

В общем случае, когда маятник находится в однородных полях нескольких сил, то для определения периода колебаний следует ввести «эффективное ускорение» g*, характеризующее результирующее действие этих полей и период колебаний маятника будет определяться по формуле

\(T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g*}}.\)

*Вывод формул

*Пружинный маятник

На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (F_ynp) (рис. 3, первый две силы на рис. а не указаны). Запишем второй закон Ньютона для случая, изображенного на рис. 3, б

\(m\cdot \vec{a} = \vec{F}_{ynp} + m\cdot \vec{g}+\vec{N},\)

0Х\[m\cdot a_{x} = -F_{ynp} = -k\cdot x\] или \(m\cdot a_{x} +k\cdot x=0.\)

<swf age="13" bgcolor="#F8F8FF" dummy="Dummy_pic1.jpg">mex-majat-05.swf</swf> а (материал с сайта science.up-life.ru)

б

Рис. 3.

Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора

\(a_{x} + \frac{k}{m} \cdot x = 0.\)

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний

\(a_{x} (t) + \omega^{2} \cdot x(t) = 0,\)

находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника

\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.\)

Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

\(T=\frac{2\pi }{\omega } = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}.\)

*Математический маятник

На груз m математического маятника действуют сила тяжести (m⋅g) и сила упругости нити (F_ynp) (сила натяжения) (рис. 4). Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для случая, изображенного на рис. 4, б

\(m\cdot \vec{a} = \vec{F}_{ynp} + m\cdot \vec{g},\)

\(0X: m\cdot a_{x} = -m\cdot g \cdot \sin \theta.\)

<swf age="13" bgcolor="#F8F8FF" dummy="Dummy_pic1.jpg">mex-majat-04.swf</swf> а (материал с сайта science.up-life.ru)

б

Рис. 4.

Пусть x — длина дуги AB, следовательно, x = l⋅θ, где угол θ выражен в радианах. Заметим, что при малых углах θ

\(\sin \theta =\theta =\frac{x}{l}.\)

Тогда

\(m\cdot a_{x} = -m\cdot g\cdot \frac{x}{l}\) или \(a_{x} +\frac{g}{l} \cdot x=0.\)

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний

\(a_{x} (t) + \omega^{2} \cdot x(t) = 0,\)

находим, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

\(\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}.\)

Тогда период колебаний маятника будет равен:

\(T = \frac{2\pi }{\omega } =2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}.\)

Литература

1. Жилко, В.В. Физика: учеб. Пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В.Жилко, Л.Г.Маркович. — Минск: Нар. Асвета, 2009. — С. 11-14.