Скачать + смотреть онлайн

видео 2022

бесплатно в хорошем качестве HD

Строго запрещено смотреть анал видео

PhysBook
PhysBook
Представиться системе

Слободянюк А.И. Физика 10/3.3

Материал из PhysBook

Содержание книги

Предыдующая страница

§3. Криволинейное движение. Плоскопараллельное движение твердого тела

3.3 Суперпозиция движений

Мы изучили несколько простейших моделей движения. Сейчас постараемся показать, как из этих простых движение можно «конструировать» более сложные и красивые движения. Слово «суперпозиция» обозначает сложение, наложение, сочетание - оно очень часто используется в физике. Возможность такого наложения различных видов движения обусловлена возможностью описывать его в различных системах отсчета и переходить из одной системы в другую по формулам \(~\vec r = \vec r_0 + \vec r\,'\) . Теперь мы можем задавать независимо закон движения в подвижной системе отсчета \(~\vec r\,'(t)\), закон движения самой движущейся системы \(~\vec r_0(t)\) и получать более сложный закон движения. Далее может быть, что и неподвижная система отсчета движется относительно другой «еще более неподвижной» системы, тем самым добавляется еще одно слагаемое и т.д. На этом пути открываются практически неограниченные возможности, рассмотреть их всех невозможно, поэтому мы вынуждены ограничиться несколькими простыми, но красивыми движениями.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту можно представить в виде суперпозиции равномерного движения вдоль горизонтальной оси и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси. Такой «суперпозиции» можно придать наглядный смысл: пусть в вагоне равномерно и прямолинейно движущегося поезда вверх подброшен небольшой шарик. В системе отсчета, связанной с вагоном, шарик движется вдоль вертикальной прямой с постоянным ускорением свободного падения. А в системе отсчета, связанной с землей, движение шарика будет движением по описанной ранее параболе. Отметим также, что «разложение движения на составляющие» не является однозначным [1]. Так то же движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить в виде «суммы» равномерного движения вдоль прямой направленной под углом к горизонту, задаваемой вектором начальной скорости, и равноускоренного движения вдоль вертикальной прямой. Фактически эти разложения мы использовали ранее при описании этого движения.

Суперпозиция вращательного и поступательного движений.

Пусть материальная точка А движется по прямому стержню с постоянной скоростью V, а стержень вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью ω. Совместим начало системы отсчета с осью вращения (рис. 28). Тогда расстояние от точки А до начала отсчета и угол поворота стержня зависят от времени по законам l = Vt , α = ωt.

Img Slob-10-3-028.jpg

Зависимость декартовых координат точки от времени имеет вид

\(~\begin{cases} x = l \cos \alpha = Vt \cos \omega t \\ y = l \sin \alpha = Vt \sin \omega t \end{cases}\) .

и описывает движение по спирали.

Еще одна суперпозиция поступательного и вращательного движений.

Пусть колесо радиуса R катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Точка А расположена на расстоянии a от оси колеса (будем считать, что a может быть как меньше, так и больше R - такие точки можно найти, например, на железнодорожном колесе). Построим семейство траекторий точек колеса.

Пусть в начальный момент времени центр колеса находится в точке O, введем систему координат, ось X которой проходит вдоль поверхности, по которой катится колесо, а ось Y перпендикулярна этой поверхности и проходит через точку O (рис. 29).

Img Slob-10-3-029.jpg

Выберем точку А на расстоянии a от центра и первоначально находящуюся на оси Y. Посмотрим как изменится положение этой точки, когда колесо повернется на некоторый угол φ = ωt (на рис. это ∠A’O’D’). Центр колеса сместится на расстояние S и займет положение O’, а точка А окажется в точке А’. Так как движение происходит без проскальзывания, то смещение колеса S = |OO’| = |BD| будет равно длине дуги DB’. Поэтому S = , где угол φ, естественно, измеряется в радианах. Координаты центра колеса будут равны \(~x_{O'} = S = R \varphi ; y_{O'} = R\) . Рассматривая треугольник O’A’C’ , легко найти координаты рассматриваемой точки А’:

\(~\begin{cases} x = R \varphi - a \sin \varphi = R \omega t - a \sin \omega t \\ y = R - a \cos \varphi = R - a \cos \omega t \end{cases}\) .

Посмотрите на эти траектории (рис.30) при a, изменяющемся от -3R до 3R (с шагом R/4). Не правда ли, эффектные кривые!

Img Slob-10-3-030.jpg

Суперпозиция двух вращательных движений.

Посмотрим, какую траекторию описывает точка M колеса радиуса r, катящегося без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R (рис. 31).

Img Slob-10-3-031.jpg

Обозначим φ = ωt - угол поворота колеса, \(~m = \frac{r}{R}\) отношение радиусов колеса и неподвижной окружности. Пусть A - начальное положение рассматриваемой точки. Из геометрических соображений можно получить параметрическое уравнение траектории точки M:

\(~\begin{cases} x = (R +r ) \cos m \varphi - r \cos (\varphi + m \varphi) \\ y = (R +r ) \sin m \varphi - r \sin (\varphi + m \varphi) \end{cases}\) .

Вид траектории полностью определяется параметром m. Если этот параметр является рациональным числом \(~m = \frac{p}{q}\) , (p, q - целые числа), то траектория является замкнутой.

Посмотрите на различные траектории, описываемые этими уравнениями (рис. 32). На всех рисунках - в центре изображение той окружности, по которой катится колесо.

Img Slob-10-3-032.jpg

Примечания

  1. Дискуссия о том какое разложение является «правильным» равносильна спору о том, какое разложение «7=5+2» или «7=3+4» точнее описывает свойства «семерки».

Следующая страница